経済数学入門 第７回(11/15)

　今回も微分です．高次関数の図形を描きました．

【授業の内容】
　前回は微分を使って2次関数のグラフを描きましたね．今回はそれを3次以上の関数でも試しました．
　やり方は2次関数の場合とほぼ同じです．例としてf(x)=・・・と表記される3次関数で説明します．
①関数を微分して0とおく．ここで注意して欲しいのは，傾きが0である極値が知りたいから0とおくだけであり，微分したものは必ず0となるわけではありません．0と「おく」というのはそういう意味です．
　いずれにせよ，式が表現するのは「傾きが0となる点」です．この方程式を解くことで極値のx座標が出てきます．2次関数の場合との違いは，2次関数は微分して0とおくと1次方程式になりますが，3次関数の場合は2次方程式になります．なぜなら微分をすると次数が1つ下がるからです．2次方程式の解き方は以前に確認しましたね．因数分解できそうならそれで，できなさそうなら解の公式を使います．
②出てきたxを元の関数に代入する．これにより極値のy座標が求められます．3次関数では多くの場合，①でxが2つ出てきますが，その時はこの作業を当然2回やります．これにより極値のx座標とy座標の組み合わせがわかりますね．
③増減表を描く．何次関数であろうと極値以外では傾きの符号が変わることはありません（正→負，負→正）．そのため，極値を基準とし，その前後の傾きを求めます．例えば極値のx座標が-3と6だとすれば，まず，x<-3の地点では傾きが正負のどちらなのかを確かめましょう．そのためには具体的なx<-3となる地点の傾きを調べる必要があります．x<-3の例としてはx=-5がありますね（なんでも良いです）．これを元の関数を微分した式に代入します．それによりx=-5の時の傾きがわかります．以下同じように，他の極値の前後でもやってみましょう．
④増減表を基にグラフを描く．

　授業では，3次関数の例外として極値が1つしかないものの説明もしました．このように例外もあるので，慣れないうちは面倒でもきちんと増減表を描くようにしましょう．

　さて来週は中間試験です．きっちり準備しましょうね．