経済数学入門 第６回(11/8)

　今回は，前回に引き続き微分です．非常に重要なところなので，必ず自分のものにしましょうね．

【授業の内容】
　微分の計算方法自体は前回説明しましたね．今回は微分の意味を活用方法を説明しました．この講義で，皆さんに最も理解して欲しいことは，「微分すると傾きが得られる」ことです．「微分」と聞いたら「傾き」，「傾き」と聞いたら「微分」が反射的に出てくるよう，頭に叩き込んでください．なぜなら，経済学では，利潤の最大化や費用の最小化などに関連して，傾き（つまり増加率）をよく利用するからです．

　なぜ最大化や最小化と傾きが関連しているかと言えば，最大化（や最小化）の点では，その関数の傾きが0となるからです（厳密に言うと関数の形状，変数の種類にもよりますが…）．2次関数（縦軸：y，横軸：xとする）を例に取れば，2次関数は山型（上に凸）かU字型（下に凸）の形状をとりますが，その頂点や底はそれぞれ最大値や最小値を示しています．そのため，まずは2次関数のグラフをきちんと描けるようになりましょう．もちろん平方完成でも2次関数のグラフを描くことはできますが，平方完成は計算ミスが多いので，今後は微分を使いましょう．
　さて，その具体的なやり方ですが，2次関数を微分すると，放物線の傾きが出てきます．頂点や底は傾きが0となっているため，頂点や底が知りたければ，微分したものを0と置きましょう．すると頂点や底のx座標が出てきます．さらにそのxを元の2次関数に代入すれば頂点のy座標も得られます．ここで間違えて微分したものに代入してしまうと当然0になります．なぜなら，傾きが0になるようなxを求めたわけですから，傾きを示す微分の式に代入すれば0になるからです．

　このグラフを描く方法は，3次関数以降でも利用できます．ただし，3次以上の関数では傾きが0となる点が必ずしも最大値（や最小値）となるわけではないので，傾きが0の点を今後は極値と呼びます．
　来週は3次関数のグラフを描きます．そして，その翌週は中間テストです．きっちり準備しましょうね．