経済数学入門 第１０回

　今回は，最大化・最小化問題と偏微分です．

【授業の内容】
　授業ではあっさりと「最大化・最小化問題」と言いましたが，授業で解いた問題は詳しく言うと「制約付き最大化・最小化問題」と呼びます．ある制約の下で，どのようにして何かを最大化・最小化するかを考えます．

　授業は予算という制約の下での効用（幸せ）最大化問題から始めました．皆さんもそうでしょうが，煩悩の多い我々には欲しいものがたくさんあります．しかし，それらをすべて買うこと（消費すること）はできません．なぜなら様々な制約があるからです．そのうち最も妨げとなるのは予算制約，つまり持っているお金に限りがあることでしょう．そのような場合，どうすれば幸せが最大になるのかを，具体的な数値例で確かめました．
　問題を解くうえでの手順は以下のとおりです．
１．目的と制約の式を区別する（必要であれば定式化する）．
２．制約の式を変形して，X＝2Y+5，Y＝-2X+10，などのように，ある変数を他の変数で表現します．これにより，使用する変数の種類を減らすことができるのです．
３．（２．）で変形した式を目的の式に代入し，変数の種類を減らします．
４．目的の式の最大値（もしくは最小値）を探すため，微分して0と置く．これにより求める答えの1つが出てきます．
５．（４．）で得られた答えを制約の式に代入します．これで残る答えも出てきます．

　大学学部の経済学のレベル，あるいは公務員試験ぐらいのレベルであれば，以上のような手順でほとんど解くことができるでしょう．

　後半は偏微分のやり方について説明しました．偏微分とは，2つ以上の変数からなる関数の微分する方法の1つです．他の変数が一定である（固定されている）ものとして，微分するという方法です．これに対して全微分というのもありますが，社会科学系の学部で必要となることはあまりありません．
　やり方としては，ある変数で偏微分するときは「他の変数を，ただの数字であるように扱ってやる」ことに注意して，普通に微分すればよいだけです．特に新しいルールも出てきません．簡単ですね．